Kvantu meklēšanas stacionāro stāvokļu apraksts

Abstract

Kvantu meklēšana ir uz klasiskās gadījumklejošanas balstīts meklēšanas algoritms, kur strukturētā datubāzē -- grafā meklē iezīmētu virsotni. Ir zināms, ka daudzos gadījumos kvantu klejošana var atrast iezīmēto virsotni laikā $O(\sqrt{n})$, kamēr klasiski nepieciešams $\Omega(n)$ laiks, kur $n$ ir grafa virsotņu skaits. Ja klejošanas sākumstāvoklis ir aptuveni vienāds ar stacionāro stāvokli, tad kvantu algoritms nesniedz priekšrocību pāri klasiskajam. Līdz ar to tiek pētīts, kad eksistē stacionārie stāvokļi, atkarībā no grafa un iezīmētām virsotnēm. Šajā darbā tiek pētīta kvantu meklēšana ar Grovera monētu, un tās stacionārie stāvokļi -- tādi gadījumi, kad klejošana neietekmē stāvokli visas savas darbības laikā. Ir zināms risinājums stacionāro stāvokļu eksistencei situācijā, kad marķētās virsotnes veido vienu sakarīgu komponenti un nemarķētās virsotnes veido citu sakarīgu komponenti. Šajā darbā esošie rezultāti vispārināti līdz stāvokļu eksistencei patvaļīgā grafā.

Quantum walk search is a search algorithm based on classical random walk, in which a marked vertex is sought in a structured database -- a graph. It is known that in many cases quantum walk can find the marked vertex in time $O(\sqrt{n})$, while classicaly $\Omega(n)$ time is required. If the quantum walk's starting state is roughly the same as a stationary state, the quantum algorithm does not achieve a better time complexity than the classical one. Thus the existance of stationary states, depending on the graph and marked vertices, is researched. In this work we research quantum walk search using Grover's coin and its stationary states -- cases, where the walk leaves no impact on the state during its application. A solution is known for the existance of stationary states in the case of all marked vertices forming one connected component and all unmarked vertices forming another connected component. In this work we generalize the already existing solution to an arbitrary graph.