Kvantu dizaini: MUB un SIC-POVM

Abstract

Kvantu dizaini ir simetriskas vektoru konfigurācijas daudzdimensiju telpā. Pazīstamākie no tiem ir MUBu pilnas sistēmas un SIC-POVMi. Tie tiek pielietoti kvantu stāvokļu mērīšanā (kvantu tomogrāfijā), kvantu kriptogrāfijā un citās jomās. Šie objekti veido tā saucamos kompleksos projektīvos 2-dizainus, tas ir, sasniedz vienādību Velča nevienādībā priekš k=2. To izmantojot, mēs izvedam nepieciešamu un pietiekamu nosacījumu, lai vektoru sistēma veidotu MUBu pilno sistēmu vai SIC-POVMu. Šis nosacījums der arī citiem kvantu dizainiem.

Atšķirībā no iepriekšējiem kritērijiem, mūsu kritērijs izmanto tikai vektoru ortogonalitāti. Mēs ievedam homogēnas sistēmas: vektoru sistēmas, kurām šis nosacījums pieņem ļoti vienkāršu formu. Mēs parādām, ka visas zināmās MUBu pilnās sistēmas un visi zināmie SIC-POVMi ir homogēnu sistēmu speciālgadījumi, kas varētu atvieglot šo objektu konstruēšanu.

We investigate complete systems of MUBs and SIC-POVMs in this thesis. These are highly symmetric sets of vectors in Hilbert space, interesting because of their applications in quantum information science and other areas. It is known that these objects form complex projective 2-designs, that is, they satisfy Welch bounds for k=2 with equality. We derive a necessary and sufficient condition for a set of vectors to satisfy Welch bounds with equality. This condition uses the orthonormality of a specific set of vectors. In particular it gives a condition for a set of vectors to be a complete system of MUBs or a SIC-POVM.

We define homogeneous systems, as a special case of systems of vectors for which the condition takes an especially elegant form. It is notable that all known constructions of SIC-POVMs and complete systems of MUBs belong to this special case. We demonstrate this and show some new results following from this construction.