Algoritms optimālu vaicājošo algoritmu izveidei

Abstract

Šajā darbā tiek apskatīta iespēja izveidot algoritmu, ar kura palīdzību būtu iespējams konstruēt optimālus vaicājošos algoritmus dotai Būla funkcijai. Darbā tiek parādīts, ka optimāla vaicājošā algoritma atrašanas problēmu varbūtisku un kvantu algoritmu gadījumā iespējams reducēt uz optimizēšanas uzdevumu. Taču šī uzdevuma apjoms ir milzīgs. Darba vidusdaļā tiek pētītas Būla funkcijām piemītošās simetrijas un piedāvāti vairāki vaicājošo algoritmu izveides principi, kuros tās tiek ņemtas vērā. Ja optimizēšanas uzdevumā apskata tikai tādus algoritmus, kuri veidoti saskaņā ar šiem principiem, tad ir iespējams ievērojami samazināt risināmā optimizēšanas uzdevuma apjomu. Darba beigās ar aprakstītās metodes palīdzību tiek izveidoti divi varbūtiski vaicājošie algoritmi, kas aprēķina tā saucamo Fano plaknes funkciju. Viens no algoritmiem ir ar ierobežotu jautājumu skaitu un tam svarīga ir atbildes došanas varbūtība, bet otram svarīgs ir vidējais uzdoto jautājumu skaits.

In this work I consider the possibility to create an algorithm, which can be used to construct an optimal query algorithm for given Boolean function. I show that in the case of probabilistic and quantum decision trees this task can be reduced to optimization problem. Nevertheless this problem is enormous. In the middle part of this work I study the symmetries of Boolean functions and propose several principles of probabilistic decision tree construction, which take into account these symmetries. It is possible to considerably decrease the size of optimization problem, if we consider only algorithms, which satisfy these principles. And finally I use the method proposed to construct two probabilistic decision trees, which compute the so called Fano plane function. The first one has limited number of questions and for this algorithm only the probability to obtain the answer is of interest. But for the second one we are interested only in the average number of questions asked.