Hammeršteina tipa integrālvienādojums ar pozitīvu kodolu

Abstract

Maģistra darbs veltīts nelineāram Hammeršteina tipa integrālvienādojumam, kas ir ļoti vienkāršots modelis siltuma pārnesei radiācijas ceļā. Integrāloperatora kodols ir nenegatīvs ar pieļaujamām vājām singularitātēm, bet nelinearitāte ir stingri monotona ar lineāru augšanas ātrumu bezgalībā. Darbā iegūti novērtējumi pakāpes rādītājiem tām Lebega telpām, kurās integrāloperators ir nepārtraukts, pilnīgi nepārtraukts, ka arī ir atvasināms pēc Gato vai Freše. Tāpat iegūti arī vienkāršoti novērtējumi linearizētā operatora spektrālajam rādiusam. Vienkārša modeļa situācijā parādīts, kā diskretizētajam vienādojumam var pielietot Ņūtona metodes analogu. Ar skaitliska eksperimenta palīdzību iegūtas dažas sakarības atrisinājuma precizitātes un algoritma iterāciju skaita atkarībai no iespējamās singularitātes pakāpes rādītāja.

Atslēgvārdi: nelineārs integrālvienādojums, vāja singularitāte, diferencējamība, Ņūtona metode, skaitliskas simulācijas.

These master theses are devoted to a nonlinear Hammerstein’s type integral equation, which is a very simplified model of the heat transfer via radiation. The kernel of the integral operator is non-negative with possible weak singularities, but the non-linearity is strictly monotone with a linear growth at infinity. There are obtained classes of Lebesgue spaces, for which the operator is continuous, or completely continuous, and Gateaux or Frechet differentiable. Also some simple estimates for the spectral radii of the linearized operator are obtained. For a simple model equation it is shown how to apply an analogue of the Newton’s method for solving the discretized equation. By means of numerical simulation some interrelations between the exponent of the singularity and the number of iterations and the accuracy of solutions are obtained.

Keywords: non-linear integral equation, weak singularity, differentiability, Newton’s method, numerical simulation.