Kvantu skaitļošanas konstrukcijas

Abstract

Kvantu modelis ar pēcatlasi tiek definēts Scott Aaronson darbā. Beigu stāvokļu kopa, kas parasti sastāv no akceptējošiem un noraidošiem stāvokļiem, tiek papildināta ar parametru, kas norāda, vai dotais beigu stāvoklis ietilpst atlases kopā. Mērījumi tiek veikti tikai atlases kopas beigu stāvokļos. Tiek ieviests papildus stāvoklis + q , un ja visu pēcatlases stāvokļu amplitūdas ir 0, tad + q amplitūda saņem vērtību 1. Pēcatlase ļauj pētīt ne tikai kvantu, bet arī tradicionālo algoritumu īpašības. Pētījuma mērķis ir salīdzināt varbūtisko un kvantu galīgo pēcatlases automātu klases un aprakstīt valodu klases, ko atpazīst kvantu galīgs automāts ar pēcatlasi. Pētījuma procesā iegūti šādi rezultāti: • Definēts kvantu galīgā automāta ar pēcatlasi jēdziens; • Aprakstīta valoda PALINDROMES, ko atpazīst galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar mērījumu katrā solī un galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar mērījumu beigās; • Aprakstīta valoda, kuru nevar atpazīt galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar mērījumu katrā solī un galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar mērījumu beigās: L = {w | w∈{0,1}* and there exist x, y,u, z such that w = x1y = u1z and x = z } Viens no promocijas darba uzdevumiem ir aplūkot kvantu vaicājošos algoritmus Bula funkciju rēķināšanai. Darba sākumā tiek pierādīti kvantu algoritmu apakšējie novērtējumi dažādām funkcijām, kas apraksta grafu problēmas. Ir izveidoti efektīvi kvantu vaicājošie algoritmi. Šajā sadaļā iegūti rezultāti sekojošām funkcijām: • 3-sum problēma, • Hamiltona ceļš, • Hamiltona aplis, • Ceļojošais pārdevējs. Vēl promocijas darbā tiek apskatīta reāla laika Tjūringa mašīnas kvantu analoģija. Tiek parādīts, ka eksistē valoda, kuru pazīst reāla laika kvantu Tjūringa mašīna un nepazīst reāla laika determinēta Tjūringa mašīna.

Postselection quantum model is defined by Scott Aaronson. A new parameter is added to a halting set of states, that consists of accepting and rejecting states, which defines if the state is in postselection set. Only states in postselection set are measured. New state + q is added and if all postselection states amplitudes are equal to 0, then + q amplitude is set to 1. Postelection appears to be very useful to study not only quantum, but also traditional algorithms . Paper goal is to compare probabilistic and quantum finite automata with postselection and define language class, that can be recognized by quantum finite automata with postselection. The following results are obtained: • The notion of quantum finite automata with postselection is given; • Language PALINDROMES is defined, that can be recognized by MO- and MM- quantum finite automata with postselection; • Language is defined, that cannot be recognized by MO- and MM- quantum finite automata with postselection: L = {w | w∈{0,1}* and there exist x, y,u, z such that w = x1y = u1z and x = z } One of the research object of this work is find quantum query algorithms to compute Boolean functions. At first we prove higher lower bounds of quantum query algorithms for some of graph problems. Effective quantum query algorithms are created with complexity lower than deterministic one. Results for the following functions are obtained: • 3-sum problem, • Hamiltonian path, • Hamiltonian circuit, • Travelling salesman. Another aim of this paper is to introduce a quantum counterpart for real – time Turing machine. The recognition of a special kind of language, that can’t be recognized by a deterministic real – time Turing machine, is shown.