Quantum query algorithms

Abstract

Kvantu skaitļošana ir datorzinātnes apakšnozare, kas balstās uz kvantu mehānikas likumiem. Kvantu vaicājošais algoritms ir galvenais pētāmais objekts. Galvenais darba mērķis ir padarīt kvantu algoritma konstruēšanu pēc iespējas vienkāršāku. Pētījumā ir aprakstīti kvantu vaicājošie algoritmi, kas rēķina Būla funkcijas uzdodot nelielu skaitu vaicājumu, un tiek piedāvāti kvantu vaicājošie algoritmi daudzvērtīgu funkciju aprēķināšanai. Darbā ir aprakstīti vairāki efektīvi kvantu algoritmi konkrētu uzdevumu veikšanai. Paši nozīmīgākie ir kvantu vaicājošie algoritmi ar ierobežotu kļūdu, piemēram, piedāvāts algoritms divu bitu AND Būla funkcijai, kas izmanto vienu vienīgu vaicājumu un izsniedz pareizu atbildi ar varbūtību 9/10. Katrai aprakstītajai funkciju kopai ir veikta pamatīga kvantu un klasiskās sarežģītības analīze. Pēdējā pētījuma daļa ir veltīta Būla funkcijām ar zemas pakāpes polinomiem, kuri reprezentē dotās funkcijas. Darbā piedāvātie paņēmieni ļauj uzkonstruēt Būla funkcijas ar pietiekami lielu intervālu starp funkcijas determinēto sarežģītību un reprezentējošā polinoma pakāpi. Atslēgas vārdi: kvantu skaitļošana, vaicājošais modelis, vaicājošais algoritms, daudzvērtīga funkcija, zemas pakāpes Būla funkcija

Quantum computing is a way of computation based on the laws of quantum mechanics. The main subject of this research is a quantum query algorithm, where we pursued a major aim to make quantum algorithm design as straightforward as possible. This survey presents quantum query algorithms computing Boolean functions with a small number of queries and algorithms computing multivalued functions. Numerous quantum algorithms efficient for certain problems are described in the thesis. Bounded-error quantum algorithms are the most impressive, for example, a single-query algorithm for conjunction of two bits with the correct answer probability 9/10. Quantum versus classical algorithm complexity gap is discussed thorougly for each scope of functions. The last part of the thesis is devoted to Boolean functions with low-degree representing polynomials. Approaches presented in this work allow to design a Boolean function with a large gap between the deterministic complexity and the degree of a representing polynomial. Key words: quantum computing, query model, query algorithm, multivalued function, low-degree Boolean function