Aperiodicity in finitely generated bi-ideals and bounded bi-ideals

Abstract

Disertācijā pētīts aperiodiskums divu vienpusēji bezgalīgu vārdu klašu – galīgi ģenerētu biideālu un ierobežotu bi-ideālu – kontekstā. Gan galīgi ģenerētus bi-ideālus, gan ierobežotus biideālus ir ērti uzdot, izmantojot bāzes virkni. Ierobežotu bi-ideālu gadījumā tiek nofiksēta galīga vārdu kopa, no kuras tiek uzģenerēta bāzes virkne. Savukārt galīgi ģenerētu bi-ideālu gadījumā bāzes virkne ir periodiska, līdz ar to var uzskatīt, ka ir dota galīga bāze. Efektīvā ģenerēšana un zināmie aperiodiskuma nosacījumi kalpo par motivāciju apskatīt galīgi ģenerētu bi-ideālu potenciālo pielietojumu kriptogrāfijā – aperiodisku gadījuma skaitļu ģenerēšanā. Savukārt, ierobežoti bi-ideāli ir galīgi ģenerētu bi-ideālu dabīgs vispārinājums. Disertācijā tiek piedāvāta konkrēta gadījuma skaitļu ģeneratora modifikācija. Oriģinālajā konstrukcijā tiek veikta filtrācija, izmantojot divas periodiskas virknes. Modificētajā gadījuma skaitļu ģeneratorā viena no periodiskajām virknēm tiek aizstāta ar galīgi ģenerētu bi-ideālu. Tiek parādīts, ka katrai periodiskai virknei var piekārtot bezgalīgi daudz galīgi ģenerētus bi-ideālus tā, ka filtrācijas rezultātā iegūtā virkne ir aperiodiska. Pierādīta arī universālo bi-ideālu eksistence – tie ir galīgi ģenerēti bi-ideāli, ar kuriem filtrējot patvaļīgu netriviālu periodisku virkni, vienmēr iegūst aperiodisku virkni. Disertācijas galvenie rezultāti ir visu aritmētisko apakšvirkņu aperiodiskuma problēmas atrisinājums gan galīgi ģenerētiem bi-ideāliem, gan ierobežotiem bi-ideāliem, kā arī algoritms, kas nosaka, vai galīgi ģenerēts bi-ideāls ar uzdotu bāzi satur periodisku aritmētisku apakšvirkni. Papildus apskatīts speciālgadījums, kad galīgi ģenerēta bi-ideāla bāze satur tikai divus vārdus. Pēdējā rezultātu nodaļā tiek ieviests pilnīgi ierobežota bi-ideāla jēdziens un parādīts, ka pilnīgi ierobežoto bi-ideālu klase sakrīt ar lineāri rekurento ierobežoto bi-ideālu klasi.

The thesis explores aperiodicity property in the context of two subclasses of right infinite words. These two subclasses are finitely generated bi-ideals and bounded bi-ideals. Words of both these classes can be conveniently described using a basis sequence. In the case of bounded bi-ideals we fix a finite set of finite words and generate the basis sequence from the words of this fixed set. The basis sequence of a finitely generated bi-ideal is periodic; hence we can consider that a finite basis is given. The fact that a finitely generated bi-ideal can be effectively generated by a finite basis together with already known conditions of the aperiodicity of a finitely generated bi-ideal serves as a motivation to consider the possible use of finitely generated bi-ideals in cryptography – mainly for creating an aperiodic pseudo-number generators. Since bounded biideals are a natural extension of finitely generated bi-ideals, the interest in this subclass of right infinite words increases too. The thesis provides a modification of so-called shrinking generator, a pseudo-random number generator that uses two periodic sequences (S-sequence and A-sequence) to generate the third one. In the modified pseudo-random number generator one of the periodic sequences (S- sequence) of the shrinking generator is replaced by a finitely generated bi-ideal. It is proved that for each periodic A-sequence there exist infinitely many finitely generated bi-ideals such that the resulting shrunk sequence is aperiodic. In addition, the thesis contains the proof of the existence of universal bi-ideals – finitely generated bi-ideals that always generate aperiodic shrunk sequences when used as S-sequence in the modified shrinking generator with any periodic A- sequence containing both zeroes and ones. The main results of the thesis are the necessary and sufficient condition of the aperiodicity of all arithmetical subsequences of finitely generated bi-ideal and bounded bi-ideal, as well as the algorithm for detecting whether a finitely generated bi-ideal, with a given basis, contains or does not contain a periodic arithmetical subsequence. The thesis also explores a special case when the basis of the finitely generate bi-ideal contains only two words. Finally, the thesis contains the characterization of linearly recurrent bounded bi-ideals.