Tilpumu saglabājošas skaitliskās metodes

Abstract

Darbā aplūkota autonomu dinamisko sistēmu apakšklase - tilpumu saglabājošas dinamiskās sistēmas. Analizēti dažādi tilpuma saglabāšanas teorētiskie aspekti, tostarp mijiedarbība ar plašam problēmu klāstam piemītošo simplektiskuma īpašību. Aplūkoti vairāki piemēri - gan veselas sistēmu klases (Hamiltona sistēmas), gan arī konkrētas trīsdimensionālas sistēmas. Praktiskajā daļā izstrādātas skaitliskās metodes tilpumu saglabājošu dinamisko sistēmu risināšanai, piedāvājot gan aizklātas, gan atklātas tilpumu saglabājošu metožu konstrukcijas shēmas. Iegūtās metodes realizētas konkrētu trīsdimensionālu sistēmu piemēriem, salīdzinot iegūtos rezultātus ar Runge-Kuttas metodēm.

The work deals with a subclass of autonomous dynamical systems - volume-preserving dynamical systems. Various theoretical aspects of volume conservation are analyzed, including its interaction with the symplectic property - one possessed by a wide selection of problems. Several examples are considered, ranging from whole classes of dynamical systems (Hamiltonian systems) to specific three-dimensional systems. In the practical part, numerical methods for solving volume-preserving dynamical systems are developed, offering design schemes for both implicit and explicit volume-preserving methods. The resulting methods are implemented for concrete examples of three-dimensional systems, comparing the results obtained with Runge-Kutta methods.