Būla virkņu kopu jūtīgums

Abstract

Jūtīgums s(f) un bloku jūtīgums bs(f) ir divi plaši lietoti Būla funkciju sarežģītības mēri. Tie ir cieši saistīti ar daudziem citiem sarežģītības mēriem. Jautājums par asimptotisko attiecību starp šiem lielumiem jau ilgu laiku paliek neatrisināts, un vislabākais novērtējums sasniedz kvadrātisku atstarpi: bs(f) = Ω(s(f)^2). Darbā tiek risināts ar šo problēmu saistīts uzdevums: kāds ir mazākais iespējamais Būla virkņu kopas S ar jūtīgumu s izmērs pie nosacījuma, ka katra maska ar tieši k nofiksētiem bitiem satur vismaz vienu no S virsotnēm. Iepriekš tika atrisināts gadījums k = 0, un iegūtais rezultāts pielietots, lai uzlabotu asimptotiskās attiecības dažādiem funkciju sarežģītības mēriem. Šajā darbā tiek atrisināts gadījums k = 1, un gadījumam k = 2 tiek sniegts novērtējums no augšas minimālajam kopas S izmēram.

Boolean function sensitivity s(f) and block sensitivity bs(f) are two widely used complexity measures. They are closely related to many other complexity measures. A longstanding question is how these two measures are asymptotically related to each other; the best known construction for a Boolean function achieves a quadratic difference: bs(f) = Ω(s(f)^2). In this work we examine a task related to this problem: what is the minimum possible size of a set of Boolean sequences S with sensitivity s and a condition that each mask defined by exactly k fixed bits contains at least one of the sequences from S. The case k = 0 has been solved earlier, and the result was used to improve the asymptotical relations between different function complexity measures. In this work we give a solution to the case k = 1, and for the case k = 2 we give an upper bound on the minimum size of S.