Homogenizācijas metode lineārās elastības modelim ar periodisku struktūru

Abstract

Darbs aplūko iespēju pielietot homogenizācijas ideju lineārās elastības modelim ar periodisku struktūru. Homogenizācijas mērķis šajā kontekstā ir aprakstīt sarežģītu, strauji svārstīgu vidi ar homogēnu vidi un tā rezultātā iegūt efektīvo elastības tenzoru. Šī mērķa īstenošanai darbā vispirms tiek sagatavota teorētiskā bāze: tiek aprakstīts lineārās elastības modelis un ieviesta asimptotiskās homogenizācijas tehnika. Tālāk, lai matemātiski korekti pamatotu piedāvāto metodi, tiek ieskicēts konverģences pierādījums. Praktiskajā daļā vispirms tiek paskaidroti papildu teorētiskie apsvērumi, kas nepieciešami, lai skaitliski varētu veiksmīgi implementēt šo problēmu. Īpaša vērība tiek pievērsta robežnosacījumu jautājumam. Visbeidzot, darba nobeigumā tiek apskatīti pāris ilustratīvi piemēri, lai nodemonstrētu, kā mainās efektīvā tenzora struktūra pie dažādām šūnas ģeometrijām.

In this work we consider the use of homogenization for periodic structures in linear elasticity. Homogenization in this context aims to describe complex, rapidlyvarying medium by a homogeneous medium and as a result obtain effective elasticity tensor. To this end, we first give theoretical background on linear elasticity and asymptotic homogenization. To rigorously justify then homogenization theory we briefly sketch the proof of convergence. After the theory is established, we look at some practical considerations that are necessary for successful implementation of the cell problems. Particular attention is paid to derivation of appropriate boundary conditions. Finally we consider a couple of illustrative examples to show how the effective tensor changes by altering geometry of the cell.