Genetic Background of DNA Damage in Multiple Sclerosis and Free Radical Production in Multiple Sclerosis and Type I Diabetes Mellitus Patients - Šteinberga, Dzintra (Latvijas Universitāte, 2023)
Darbā ir iegūti oriģināli, agrāk nezināmi Grobmana-Hartmana teorēmas vispāri-nājumi, pat telpāRn. Rezultāti ir iegūti samazinot prasības lineārai daļai un vien-laicīgipastiprinotprasībasnelineāraidaļai. Lokālākvalitatīvajādinamiskusistēmuteorijā Grobmana-Hartmana teorēma ir nozīmīgs rezultāts. Teorēma ir par lokāludinamisku sistēmu atrisinājuma uzvedību hiperboliska līdzsvara punkta apkārtnē.Teorēma tika pierādīta 1959. gadā un kopš tā laika ir veikti daudzi citi papildinošipētījumi. Pētījumā izmantojam Grīna tipa attēlojumu un integrāl funkcionāl -vienādojuma tehniku, kas ļauj ne tikai ievērojami uzlabot pierādījumu, bet arīizveidot pilnīgi atšķirīgu dinamiskas ekvivalences pierādījuma metodi salīdzinotariepriekšējiempētījumiem. Uzsverotiegūtovispārinājumu, mēsaplūkojamneau-tonomus diferenču un diferenciālvienādojumus patvaļīgā Banaha telpā. Integrāl-funkcionālvienādojumu tehnika noved ne tikai pie vienkāršāka pierādījuma, betarī pie vispārīgāka pietiekamā nosacījuma ierobežota atrisinājuma, kā arī perio-diska atrisinājuma, eksistencei laika skalā. Darbā ir iegūti arī jauni pietiekaminosacījumilineāradinamiskavienādojumaHaiera-Ulamastabilitāteipienosacījuma,ka Grīna tipa attēlojuma integrālis ir vienmērīgi ierobežots. Lai uzsvērtu iegūtorezultātu uzlabojumus salīdzinot ar iepriekšējiem rezultātiem, promocijas darbs irpapildināts ar vairākiem piemēriem.Atslēgasvārdi: Kvazilineārsdiferenciālvienādojums, apgriežamsdiferenčuvienā-dojums, Grobmana-Hartmana linearizācijas teorēma, kvazilineāri vienādojumi arimpulsiem, dinamiskā ekvivalence, dinamiski vienādojumi laika skalā, Grīna tipaattēlojums, ierobežots atrisinājums, periodisks atrisinājums, Haiera-Ulama stabil-itāte.

In this thesis, more general results comparing to previously known results for theGrobman-Hartmantheorem areobtained, evenforRn, by relaxingthe conditiononthe linear part while strengthening the condition on the nonlinear part. In the studyof local qualitative theory of dynamical system, the Grobman-Hartman theorem,also called the linearization theorem, is a very important result. The theorem isabout the local behavior of a dynamical system in the neighborhood of a hyperbolicequilibrium point. Many further results have been explored since the initial proofof the theorem in 1959. In our research we use a Green type map and the integralfunctional equation technique to substantially simplify the proof of the theorem,moreover, the method used in this paper to prove the dynamical equivalence iscompletely different from previous papers. Furthermore, for a more general pointof view we consider nonautonomous differential and difference equations in anarbitrary Banach space, also on time scales, and impulsive differential equationsin an arbitrary Banach space. The use of the integral functional equation techniqueled us not only to the simpler proof, but also to a more general sufficient conditionfor the existence of a bounded solution on the time scales, also for periodic solu-tion. Moreover, we derive a new sufficient condition for the Hyers-Ulam stabilityof a linear dynamic equation in the case when the integral of a Green’s type mapis uniformly bounded. To highlight our improvement, in comparison to previousresults, this thesis has been supplemented with several examples.Keywords: Quasilineardifferentialequation, invertibledifferenceequation, Grobman’s-Hartman’slinearizationtheorem, impulsivequasilinearequations, dynamicalequiv-alence, dynamic equations on time scale, Green type map, bounded solution, pe-riodic solution, Hyers-Ulam stability.
Grobmana-Hartmana teorēmas vispārinājumi
Keywords: Matemātika; Diferenciālvienādojumi; Mathematics; Differential equations