Simplektiskas skaitliskās metodes ar struktūru saglabājošu neirona tīkla apstrādi - Kalvāns, Dāvis (Latvijas Universitāte, 2023)
Pētot Hamiltona sistēmas, precīzas un laikā ilgi stabilas prognozes ir svarīgas, jo tās apraksta vairākus fizikālus procesus. Pēdējā laikā neironu tīklu pielietojums šādu sistēmu dinamikas apguvei un prognozēšanai ir kļuvis par aktīvu izpētes jomu. Šajā darbā tiek piedāvāta jauna pieeja, balstoties uz klasiskajām skaitliskajām metodēm, iekļaujot simplektiskos neironu tīklus kā apstrādes attēlojumus un veidojot skaitliskās apstrādes metodes. Šī jaunā pieeja kā kodolu izmanto klasisku skaitlisku metodi, bet simplektiskos neironu tīklus izmanto pirmapstrādes un pēcapstrādes soļiem. Kā viens no darba galvenajiem ieguldījumiem ir teorēmas pierādījums, kas nosaka minimālo aproksimācijas kārtu, ko var sasniegt ar aplūkotajām simplektiskajām apstrādes metodēm. Lai praktiski apstiprinātu šo pieeju, tika apmācīti modeļi matemātiskā svārsta un Keplera divu ķermeņu problēmām. Rezultātos novērojami ievērojami prognožu precizitāšu uzlabojumi un demonstrēta uzlabota ilgtermiņa stabilitāte.

Accurate prediction and long-time stability are vital for studying Hamiltonian systems, because they describe many physical processes. Recently, neural networks for learning and predicting the dynamics of such systems have emerged as an active field of study. In this work a new approach is proposed, building upon classical numerical methods by incorporating symplectic neural networks as processors. This new approach involves utilizing a classical numerical method as a kernel, while employing symplectic neural networks for preprocessing and postprocessing steps to create numerical processing methods. A key contribution of this work is the proof of a theorem establishing the minimum approximation order achievable by the proposed symplectic processing methods. To validate thi approach, models were trained on the mathematical pendulum and Kepler two-body problems. The results demonstrated significant improvements in prediction accuracy and showcased enhanced long-time stability.
Symplectic numerical methods with structure-preserving neural network processing
Keywords: Matemātika; neironu tīkli; simplektiski attēlojumi; Hamiltona sistēmas; skaitliskās apstrādes metodes