Kvantu algoritmi algoritmiskās ģeometrijas uzdevumiem

Abstract

Mēs apskatām kvantu algoritmus dažiem algoritmiskās ģeometrijas uzdevumiem. \textbf{SET DIAMETER} uzdevumam mēs piedāvājam kvantu algoritmu ar laika sarežģītību $\widetilde O(n^{\frac{3}{4}})$. Šajā uzdevumā ir dota punktu kopa un vajag atrast maksimālo attālumu starp diviem kopas punktiem. Eksistē klasisks algoritms, kas atrisina šo uzdevumu $O(n \log n)$ laikā. \textbf{CLOSEST POINT TO A CIRCLE} uzdevumam mēs piedāvājam kvantu algoritmu ar laika sarežģītību $\widetilde O(n^{\frac{11}{12}})$. Šajā uzdevumā ir dota punktu kopa un riņķa līniju kopa, un vajag atrast minimālo attālumu starp riņķa līniju un punktu no dotajām kopām. Eksistē dažādi klasiskie algoritmi. Mēs norādām uz neprecizitāti vienā no risinājumiem un piedāvājām veidu, kā to salabot.

We study quantum algorithms for a few computational geometry problems. For the \textbf{SET DIAMETER} problem we propose an algorithm with quantum time complexity of $\widetilde O(n^{\frac{3}{4}})$. In this problem, we are given a set of points and we are asked to find the maximum distance between a pair of points from the set. Classically it is solvable in $O(n \log n)$. For the \textbf{CLOSEST POINT TO A CIRCLE} problem we propose an algorithm with quantum time complexity of $\widetilde O(n^{\frac{11}{12}})$. In this problem, we are given a set of points, a set of circles and we are asked to find the minimum distance between a circle and a point from the given sets. Various classical solutions exist. We point out a flaw in one of the solutions and propose a way to correct it.