Finitely generated bi-ideals and the semilattice of machine invariant ω-languages

Abstract

Disertācijā pētītas bezgalīgu valodu (w-valodu) īpašības. Galvenais pētījuma objekts ir galīgi ģenerēti biideāli - rekurentu vārdu (biideālu) apakšklase, kuru iespējams aprakstīt, lietojot periodisku bāzes virkni. Interesi par šiem vārdiem palielina dažas daudzsološas to kriptogrāfiskas īpašības, kas arī parādītas darbā. Disertācijas galvenais rezultāts ir izšķiramības problēmas risinājums šim vārdiem. Atrasts efektīvs algoritms, kas sniedz atbildi uz jautājumu, vai divas periodiskas biideālu bāzes ģenerē vienu un to pašu bezgalīgo vārdu. Darbā atspoguļoti arī vairāki citi jauni ar biideāliem saistīti rezultāti. Ir parādīts, ka galīgi ģenerēti biideāli ir morfisku vārdu apakšklase un, ka tie ir slēgti attiecībā pret pātveidojumiem ar nobīdes operatoru un morfismiem. Tiek sniegts piemērs, kas parāda, ka galīgi ģenerēti biideāli nav slēgti attiecībā pret pārveidošanu ar transformatoru. Piemērā galīgi ģenerēts biideāls ar transformatora palīdzību tiek pātveidots par Tue-Morsa vārdu. Otra darba daļa saistīta ar mašīnu invarianto w-vārdu klašu struktūras pētījumiem. Jau agrāk pierādīts, ka w-valodas, kas ir slēgtas attiecībā pret pārveidojumiem ar Mīlija mašīnu veido augšējo pusrežģi ar platumu 2. Darbā parādu, ka šis pusrežģis nav modulārs, un kā sekas, nav distributīvs. Atslēgas vārdi: galīgi ģenerēts biideāls, w-valoda, Mīlija mašīna.

Abstract This thesis explores some properties of right infinite words, known also as !-words. The main subject of investigation are finitely generated bi-ideals — a subclass of recurrent words (bi-ideals) that can be described using a periodic basis sequence. The interest in these words is increased by some promising cryptographic properties demonstrated in the thesis. The main result solves a decision problem about these words by giving an effective algorithm to answer the question — given two periodic bases for a bi-ideal, do these generate the same !-word. Some more new results about bi-ideals are also presented in the thesis. It is shown that finitely generated bi-ideals are in fact a subclass of morphic words and that they are closed under right shift and transformation by morphism. An example showing that finitely generated bi-ideals are not closed under transformation by a transducer is given, transforming a finitely generated bi-ideal into the Thue-Morse word. Additionally, the algebraic structure of !-languages invariant under transformation by Mealy machines is explored. It is known that these classes form a join-semilattice of 2@0 width. I show that this semilattice is not modular and by implication, not distributive. Keywords: finitely generated bi-ideal, !-language, Mealy machine.