L-fuzzy valued measure and integral

Abstract

Promocijas darbā mēra un integrāļa koncepcijas ir attīstītas L-kopu teori- jas kontekstā, kur L ir pilns, pilnīgi distributīvs režģis ar minimuma t-normu. Darba mērķis ir ieviest mēra un integrāļa jēdzienus gadījumā, kad ne tikai kopas, bet arī mēra un integrāļa vērtības ir L-nestriktas. Darbā ir izstrādā- tā vispārīgā shēma parasto kopu mēra turpinājumam līdz L-kopu mēram ar vērtībām L-nestriktajā reālajā taisnē. Ir definēts L-nestrikti vērtīgs integrālis pa mērojamu L-kopu pēc L-nestrikti vērtīga mēra, ir izpētītas tā īpašības un aprakstītas integrēšanas metodes. Izmantojot integrāli, ir uzdota L-nestrikti vērtīga norma, kura raksturo integrējamas funkcijas L-kopās. Ir aprakstīti daži L-nestrikti vērtīgas normas lietojumi funkciju aproksimāciju teorijā. MSC: 03E72, 28E10, 26E50, 28A05, 28A12, 28A20, 28A25. Atslēgas vārdi: L-kopa, L-nestriktā reālā taisne, L-nestrikti vērtīgs mērs, L-nestrikti vērtīgs integrālis, funkciju aproksimācijas kļūda.

In this thesis we develope the theory of measure and integral in the con- text of L-sets, when L is a complete, completly distributive lattice with the minimum t-norm. The main purpose of the thesis is to introduce the concept of measure and integral taking values in the L-fuzzy real line. We suggest the construction of an L-fuzzy valued measure by extending a measure defined on a -algebra of crisp sets to an L-fuzzy valued measure defined on a tribe of L-sets. We introduce an L-fuzzy valued integral over an L-set with respect to an L-fuzzy valued measure, consider its properties and describe methods of L-fuzzy valued integration. By using the L-fuzzy valued integral we define an L-fuzzy valued norm and apply it to estimate the error of approximation of real valued functions on an L-set. MSC: 03E72, 28E10, 26E50, 28A05, 28A12, 28A20, 28A25. Key words and phrases: L-set, L-fuzzy real number, L-fuzzy real measure, L-fuzzy valued integral, L-fuzzy valued norm, approximation error.