Volterra integral equations on time scales

Abstract

Darbā ir iegūti origināli, agrāk nezināmi rezultāti par nelineāru Voltēra integrālvienādojumu un nestandarta Voltēra tipa integrālvienādojumu atrisinājumu eksistenci, unitāti, ierobežotību patvaļīgā laika skalā. Tiek apskatītas Lipšica funkcijas ar neierobežotiem Lipšica koeficientiem un lietota Banaha nekustīgā punkta teorēma funkcionālā telpā ar piemērotu Bielecka tipa normu. Šāda pieeja ļauj iegūt jaunus pietiekamus nosacījumus Voltēra integrālvienādojuma atrisinājumu eksistencei, unitātei, ierobežotībai, augšanas novērtējumam un atrisinājumu atkarībai no sākuma nosacījumiem. Jaunie pietiekamie nosacījumus tiek ilustrēti ar raksturīgiem piemēriem. Tiek pētīta nelineāru Voltēra integrālvienādojumu Haiera-Ulama stabilitāte un Voltēra tipa integrālvienādojumu Haiera-Ulama stabilitāte gan neierobežotā, gan ierobežotā laika skalā. Atzīmējam, ka daudzus integro-diferenciālvienādojumus var reducēt uz vispārīgiem Voltēra tipa integrālvienādojumiem. Plašāk tiek attīstīti iepriekš iegūtie rezultāti izmantojot Lipšica funkcijas ar neierobežotiem Lipšica koeficientiem un Banaha nekustīgā punkta teorēmu atbilstošā funkcionālā telpā ar Bielecka tipa normu, un iegūti jauni pietiekami nosacījumi Voltēra tipa integrālvienādojumu Haiera-Ulama stabilitātei. Atslēgas vārdi: Voltēra integrālvienādojums, laika skalas, ierobežots atrisinājums, nepārtraukta atkarība pēc sākuma nosacījumiem, Haiera-Ulama stabilitāte, Bielecka tipa norma

In this thesis, we introduce a more general result on existence, uniqueness, and boundedness for solutions of nonlinear Volterra integral equation and nonstandard Volterra type integral equation on an arbitrary time scales. We use Lipschitz functions, which have an unbounded Lipschitz coefficient, and the Banach fixed point theorem at an appropriate functional space endowed with a suitable Bielecki type norm. Furthermore, it allows to get new sufficient conditions for existence, uniqueness, estimate of growth of rates, boundedness of solutions and continuous dependence of solutions We also study Hyers-Ulam stability of a nonlinear Volterra integral equation and Hyers–Ulam stability of general Volterra type integral equations on unbounded and bounded time scales. We further develop the previous results using Lipschitz function, which has an unbounded Lipschitz coefficient and the Banach fixed point theorem at appropriate functional space with Bielecki type norm. Sufficient conditions are obtained for Hyers-Ulam stability. Keywords: Volterra integral equations, time scales, bounded solution, continuous dependence, Hyers-Ulam stability, Bielecki type norm.