Quantum algorithm complexity

Abstract

Kvantu algoritmu veiktspējas pārākums par klasiskajiem algoritmiem ir galvenais iemesls pašreizējai lielai ieinteresētībai par kvantu skaitļošanu. Vieni no slavenākiem kvantu algoritmiem ir Grovera meklēšanas algoritms un šora skaitļu faktorizācijas algoritms. Piemēram, Grovera algoritms atrisina elementa meklēšanas problēmu N elementu sarakstā ar laiku Ø(pN), kaut klasiskam algoritmam ir nepieciešams ¬(N) laiks, lai atrisinātu šo problēmu. Tātad mēs esam ļoti ieinteresēti atrast šādas problēmas, kurām kvantu algoritms var būt pārāks par klasisko analogu. Kvantu skaitļošanas centrālais jautājums ir, cik spēcīgi ir kvantu algoritmi? Cik liels veiktspējas uzlabo jums ir iespējams? Šajā darbā mēs sniedzam dažus jautājumus uz šīm jautājumiem. Mēs aplūkojam divas lielas problēmas. Pirmkārt, mēs aplūkojam cikla eksistences grafā problēmu. Mēs piedāvājam kvantu vaicājošo algo ritmu, kas atrisina šo problēmu efektīvāk par jebkuru klasisko analogu, un pierādām, ka mūsu piedāvātais algoritms ir optimāls. Otrkārt mēs turpinām pētījumus par varbūtiskiem apgriežamiem automātiem, izpētot apstādināmo varbūtisko apgriežamo automātu (DH-PRA) īpašības. Mēs parādām vispārējo valodu klasi, ko nevar pazīt ar DH-PRA, un kas ir ļoti līdzīga valodu klasei, ko nevar pazīt ar daudzmērījumu kvantu automātiem (MM-QFA). Mēs arī parādām, ka valodu klase, kuru pazīst DH-PRA nav slēgta pret apvienojuma operāciju. Tas ļauj mums izteikt minējumu, ka valodu klase, ko pazīst DH-PRA automāti iekļauj valodu klasi, ko pazīst MM- QFA vai nu šīs klases ir ekvivalentas. Mēs turpinām strādāt pie šī minējuma pierādīšanas.

The speedups of quantum algorithms over classical algorithms have been a main reason for the current interest on quantum computing. The most famous quantum algorithms are: Grover’s search algorithm and Shor’s factoring algorithm. Grover’s algorithm solves an arbitrary search problem with N possibilities in time Ø(pN). It is obvious that classical algorithm needs ­(N) time to solve the problem. So we are very interested in finding all such problems where quantum algorithms can give a better speedup over classical algorithms. The central question of the quantum computing is: how powerful the quantum algorithms are, how big speedup is possible? We give some answers to this question in our thesis. We are considering two main problems in this thesis. Firstly we show the problem of finding cycle in the graph. We provide the quantum algorithm solving this problem better than any classical analogue and prove that this algorithm is optimal. In the second part of our work we complete the research of probabilistic reversible automata by investigating properties of probabilistic reversible Decide and Halt automata (DH-PRA). We show general class of languages not recognizable by DH-PRA, that is very similar to the class of languages not recognizable by measure-many quantum automata (MM-QFA). We also show that the class of languages recognized by DH-PRA is not closed under union. That allows us to speculate that that class of languages recognizable by DH-PRA is likely to include the one recognizable by MM-QFA or these classes are equal. We are still working on this problem.