Aperiodicity in finitely generated bi-ideals and bounded bi-ideals
View/ Open
Author
Bērziņa, Inese
Co-author
Latvijas Universitāte. Fizikas un matemātikas fakultāte
Advisor
Buls, Jānis
Date
2014Metadata
Show full item recordAbstract
Disertācijā pētīts aperiodiskums divu vienpusēji bezgalīgu vārdu klašu – galīgi ģenerētu biideālu
un ierobežotu bi-ideālu – kontekstā. Gan galīgi ģenerētus bi-ideālus, gan ierobežotus biideālus
ir ērti uzdot, izmantojot bāzes virkni. Ierobežotu bi-ideālu gadījumā tiek nofiksēta galīga
vārdu kopa, no kuras tiek uzģenerēta bāzes virkne. Savukārt galīgi ģenerētu bi-ideālu gadījumā
bāzes virkne ir periodiska, līdz ar to var uzskatīt, ka ir dota galīga bāze. Efektīvā ģenerēšana un
zināmie aperiodiskuma nosacījumi kalpo par motivāciju apskatīt galīgi ģenerētu bi-ideālu potenciālo
pielietojumu kriptogrāfijā – aperiodisku gadījuma skaitļu ģenerēšanā. Savukārt, ierobežoti
bi-ideāli ir galīgi ģenerētu bi-ideālu dabīgs vispārinājums.
Disertācijā tiek piedāvāta konkrēta gadījuma skaitļu ģeneratora modifikācija. Oriģinālajā
konstrukcijā tiek veikta filtrācija, izmantojot divas periodiskas virknes. Modificētajā gadījuma
skaitļu ģeneratorā viena no periodiskajām virknēm tiek aizstāta ar galīgi ģenerētu bi-ideālu. Tiek
parādīts, ka katrai periodiskai virknei var piekārtot bezgalīgi daudz galīgi ģenerētus bi-ideālus tā,
ka filtrācijas rezultātā iegūtā virkne ir aperiodiska. Pierādīta arī universālo bi-ideālu eksistence –
tie ir galīgi ģenerēti bi-ideāli, ar kuriem filtrējot patvaļīgu netriviālu periodisku virkni, vienmēr
iegūst aperiodisku virkni.
Disertācijas galvenie rezultāti ir visu aritmētisko apakšvirkņu aperiodiskuma problēmas atrisinājums
gan galīgi ģenerētiem bi-ideāliem, gan ierobežotiem bi-ideāliem, kā arī algoritms,
kas nosaka, vai galīgi ģenerēts bi-ideāls ar uzdotu bāzi satur periodisku aritmētisku apakšvirkni.
Papildus apskatīts speciālgadījums, kad galīgi ģenerēta bi-ideāla bāze satur tikai divus vārdus.
Pēdējā rezultātu nodaļā tiek ieviests pilnīgi ierobežota bi-ideāla jēdziens un parādīts, ka pilnīgi
ierobežoto bi-ideālu klase sakrīt ar lineāri rekurento ierobežoto bi-ideālu klasi. The thesis explores aperiodicity property in the context of two subclasses of right infinite
words. These two subclasses are finitely generated bi-ideals and bounded bi-ideals. Words of
both these classes can be conveniently described using a basis sequence. In the case of bounded
bi-ideals we fix a finite set of finite words and generate the basis sequence from the words of this
fixed set. The basis sequence of a finitely generated bi-ideal is periodic; hence we can consider
that a finite basis is given. The fact that a finitely generated bi-ideal can be effectively generated
by a finite basis together with already known conditions of the aperiodicity of a finitely generated
bi-ideal serves as a motivation to consider the possible use of finitely generated bi-ideals in
cryptography – mainly for creating an aperiodic pseudo-number generators. Since bounded biideals
are a natural extension of finitely generated bi-ideals, the interest in this subclass of right
infinite words increases too.
The thesis provides a modification of so-called shrinking generator, a pseudo-random number
generator that uses two periodic sequences (S-sequence and A-sequence) to generate the
third one. In the modified pseudo-random number generator one of the periodic sequences (S-
sequence) of the shrinking generator is replaced by a finitely generated bi-ideal. It is proved that
for each periodic A-sequence there exist infinitely many finitely generated bi-ideals such that
the resulting shrunk sequence is aperiodic. In addition, the thesis contains the proof of the existence
of universal bi-ideals – finitely generated bi-ideals that always generate aperiodic shrunk
sequences when used as S-sequence in the modified shrinking generator with any periodic A-
sequence containing both zeroes and ones.
The main results of the thesis are the necessary and sufficient condition of the aperiodicity
of all arithmetical subsequences of finitely generated bi-ideal and bounded bi-ideal, as well as
the algorithm for detecting whether a finitely generated bi-ideal, with a given basis, contains or
does not contain a periodic arithmetical subsequence. The thesis also explores a special case when the basis of the finitely generate bi-ideal contains only two words.
Finally, the thesis contains the characterization of linearly recurrent bounded bi-ideals.