Tuvināto metožu salīdzinoša analīze biharmoniskajam vienādojumam ortotropām plātnēm

Abstract

Darbā aplūkota ortotropu plātņu lieces aprēķini ar dažādām skaitliskajām metodēm- galīgo elementu metodi, galīgo diferenču metodi, Gaļorkina bezrežģa metodi, Rica metodi un robeželementu metodi. Plātnes liece tiek aprakstīta ar biharmoinsko vienādojumu, kurš izriet no Kirhofa plātņu teorijas. Taisnstūrveida plātnei, kas brīvi balstīta pa kontūru ar vienmērīgi izkliedētu slodzi iegūts analītiskais atrisinājums un izmantos skaitlisko metožu precizitātes analīzei. Salīdzinātas aplūkotās skaitliskās metodes pēc to precizitātes, risināšanas ātruma un stinguma matricas nenulles elementu skaita atkarībā no mezglu skaita. Visām skaitliskajām metodēm tika izstrādātas speciālas programmas MATLAB vidē. Rezultāti parāda, ka robeželementu metodei atšķirībā no pārējām stinguma matrica nav retināta, taču nezināmo skaits ir būtiski mazāks. Atrisinājuma kļūda vismazākā ir galīgo elementu, kurā izmantots 4-mezglu galīgais elements un galīgo diferenču metodei, kurā izmantota centrālā diferenču shēma.

Various numerical methods- finite element, finite difference, boundary element, element free Galerkin, Ritz were used to analyse orthotropic plate bending problem. It is described by biharmonic equation when using Kirchoff theory of thin plate bending. Analytical solution of a rectangular, simply supported plate on all edges with uniformly distributed load are obtained and used to analyse precision of numerical methods. Numerical methods are compared to each other using following criteria- precision, computational speed and number of non-zero elements in stiffness depending on number of nodes. A special MATLAB programs was written to each numerical method. Obtained results show that stiffness matrix of boundary element is not sparse unlike it is in other methods. A four node finite element and central finite difference scheme gives best precision depending on number of nodes.