Birkhofa interpolācija

Abstract

Birkhofa interpolācija ir Ermita interpolācijas vispārinājums: tajā tiek meklēta funkcija, kuras atvasinājumi interpolācijas mezglos pieņem noteiktas vērtības, turklāt var uzdot atvasinājumu vērtības, neuzdodot zemākas kārtas atvasinājumu vai pašas funkcijas vērtības. Atšķirībā no Ermita interpolācijas, Birkhofa interpolācijas problēmai ne vienmēr eksistē atrisinājums.

Darbā aplūkota Birkhofa interpolācija vispārīgā gadījumā, interpolācija ar polinomiem un ar polinomiāliem splainiem. Interpolējot ar polinomiem, definēts regulārs režģis un raksturoti gadījumi, kad režģis ir regulārs. Tiek arī aprakstītas interpolācijas režģa afīnu transformāciju īpašības. Interpolējot ar splainiem, vispārināta teorēma par interpolējošā splaina eksistences nosacījumiem, aprakstīta situācija, kad interpolācijas nosacījumi ir uzdoti specifiskā veidā (pēc vienota šablona). Īpaša uzmanība veltīta variāciju pieejai Birkhofa interpolācijai.

Birkhoff interpolation generalizes Hermite interpolation; it deals with finding a function whose derivatives have specified values at interpolation nodes, moreover, it is possible to specify derivatives of the interpolant without specifying the lower derivatives or the interpolant itself. In contrast to Hermite interpolation, a Birkhoff interpolation problem does not always have a solution.

In this paper we consider general Birkhoff interpolation, interpolation by polynomials and polynomial splines. In case of polynomial interpolation we define regular set of nodes and characterize a case when the set of nodes is regular. Properties of affine transformations of the set of nodes are described. When interpolating by splines, we generalize the existence theorem and describe the case when the interpolation conditions are imposed in a specific way (by pattern). Particular interest is dedicated to the variational approach to Birkhoff interpolation.