Skaitliskās metodes daļēji klasisko Hamiltona sistēmu risināšanai

Abstract

Darbā aplūkots kristālrežģa modelis, kas apraksta lādiņa pārnesi ar nelineāru režģa vilni. Izrādās, ka šādu modeli ir iespējams uzrakstīt kā Hamiltona sistēmu, kuru var saukt par daļēji klasisku, jo lādiņa dinamika tiek aprakstīta nevis klasiski, bet ar kvantu mehāniku. Lai iegūtu atrisinājumu, tiek aplūkotas un pielietotas sadalīšanas metodes, kuras būs simplektiskas un būs spējīgas saglabāt invariantos lielumus. Tiek konstruētas augstāku kārtu metodes, kā arī pielietota vairāku laika soļu tehnika. Praktiskie eksperimenti parāda, ka dažreiz labāk ir izmantot augstāku kārtu shēmas, kaut arī tās prasa vairāk aprēķinu. Tiek iegūts arī secinājums, ka pie lielām lādiņa frekvencēm ir vērts pielietot vairāku laika soļu metodes.

In this thesis we consider crystal lattice model which describes charge transfer by nonlinear lattice wave. It turns out that such a model can be written as Hamiltonian system which can be called semi-classical, since charge dynamics is described not clasically, but with quantum mechanics. In order to obtain the solution, splitting methods are considered and applied, which will be symplectic and will be able to preserve invariants. Higher order methods are constructed, as well as a multiple time stepping technique is applied. Practical experiments show that sometimes it is better to use higher order schemes, even though they require more calculations. It is also concluded that at large charge frequencies it is worth applying multiple time stepping methods.